概要

指数関数は微分において便利な性質を持っており、その応用範囲も広い。

まず、指数関数を自然数において導入し、指数の範囲を徐々に広げていく。

指数関数の導入

自然数における定義

乗法の略記として導入される。

  1. \begin{align*} x = \underbrace{a\cdot a\cdot\dots\cdot a}_{n} \end{align*}
  2. 1.について、 $latex x$ を $latex x^n$ とする。 $latex \qty{n \in \N, a \in \R}$

整数における定義

割り算を考えることにより、指数を整数まで広げることが出来る。

  1. \begin{align*} x = \underbrace{a\cdot a\cdot\dots\cdot a}_{n}/\qty{\underbrace{a\cdot a\cdot\dots\cdot a}_{m}} \end{align*}

    \begin{align*} \quad= a^p \quad\qty{p \triangleq n-m\qc \therefore p\in\Z} \end{align*}

  2. 1.について、 $latex x$ を $latex a^p$ とする。

上記定義により、 $latex a^0 = a^{2-2} = a\cdot a/(a\cdot a)$ より、 $latex a^0 = 1$ であることが自然に導かれる。

有理数における定義

分数乗を考えることで、指数を有理数まで拡張する。

  1. $latex x = a^{\frac{b}{c}}$ を考える。$latex (b\in\Z\qc c\in\N)$
  2. $latex x^c = x^b$
  3. 上記について、 $latex x$ を $latex a^q$ とする。 $latex \qty{q \triangleq \frac{b}{c}\qc \therefore q\in\Q}$

つまり $latex x$ は $latex x^b$ の $latex c$ 乗根であることがわかり、指数は有理数まで拡張される。

実数における定義

有理数までの拡張は上手く行ったが、実数になるととたんに直感的でなくなる。 これは有理数までが、離散的な数を扱っており、実数において連続の値となるからだ。

離散的と連続の間には大きな壁があり、この壁を越えるのは難しい。

  1. $latex x = a^\pi$ を考える。
  2. $latex \pi = 3.141592\dots$ であることは知られているので、 $latex p_n\triangleq\qty{3,3.1,3.14,3.141,3.1415,\dots}\qc\lim_{n\to\infty}p_n = \pi$ とする
  3. $latex p_n$ に対して、 $latex a^3, a^{3.1}, a^{3.14}, a^{3.141},\dots$ は定義されているので、 $latex x=a^\pi$ を $latex \lim_{n\to\infty}a^{p_n}$ とする。
  4. 他の無理数においても同様の操作を行う

上記操作によって指数は実数まで拡張される。

複素数における定義

複素数の世界では初等関数でさえも、不思議な挙動をすることがある。 複素数の指数関数をどのように定義したら、実数における定義と上手く共存できるかを考える。

つまり、実数における指数関数の性質を調べ、それらを満たす関数を指数関数と定義する。 その議論は別のところで行う。

簡単な方法はオイラーの公式を複素指数関数の定義として受け入れることだ。

  1. $latex x = e^{z} = e^{b+\mathrm{i}c} = e^b\qty{\cos{c} + \mathrm{i}\sin{c}}$

    $latex z \triangleq b+\mathrm{i}c\quad(b,c\in\R\qc\therefore z\in\C)$