今日の実験ノート

今日やったことを気ままに綴るノート。

Category: ko-physics

ベクトルの導入

概要

ベクトルは「力」を表すことにとても優れており、物理を学習するにあたって外すことのできない知識である。 また一つの文字で、複数の量を扱っていると考えることもでき、式を見通しを良くすることにも寄与する。

ベクトルの導入

ベクトルは見た目として 矢印 である。ベクトルにおいては、平行移動したものを 全て同一視 する。

矢印は 始点終点 で構成される。視点を変えれば、 方向長さ で構成されるともいえる。

成分でベクトルを表示する際は、始点が減点にあると考えると終点の座標と一致する。

またこれまで扱ってきた「普通の」数をベクトルと区別して スカラー と呼ぶ。

ko-physics-vector-01.png

ベクトルとスカラーの加減算

ベクトルとスカラーの加減算は、次元が異なるため定義できない。

ベクトルとスカラーの掛け算

ベクトルとスカラーの掛け算を定義する。

ベクトルとスカラーの掛け算はベクトルを成分表示した後、すべての成分についてスカラーを掛け算する。

平面座標で見ると、方向を保存しながら長さがスカラー倍になっていることが分かる。

ベクトルとベクトルの加減算

ベクトル同士の次元が一致していることが条件である。 例えば、平面ベクトル同士は計算できるが、平面ベクトルと空間ベクトルは計算できない。

その場合、平面ベクトルを空間ベクトルとして捉え直せば計算することが出来る( $latex z = 0$ とする)

ko-physics-vector-02.png

加算の場合、 始点から平行四辺形の対頂角まで のベクトルになる。

減算の場合、 引いた数の終点から引かれた数の終点まで のベクトルになる。

減算はイメージすることが難しいので、最初は $latex -\vb{b}$ を書いてから計算しても良いが、将来的に書かずに求められるようになりたい。

成分で計算するのは簡単で、それぞれの成分をそれぞれで計算すればよい。

\begin{align} \vb{a} &\triangleq \mqty{4\\3}\qc \vb{b} \triangleq \mqty{5\\-1}\\ \vb{a}+\vb{b} &= \mqty{4\\3}+\mqty{5\\-1} = \mqty{4+5\\3-1} = \mqty{9\\3}\\ \vb{a}+\vb{b} &= \mqty{4\\3}-\mqty{5\\-1} = \mqty{4-5\\3-(-1)} = \mqty{-1\\4} \end{align}

数学 – 必要最小限の知識で学ぶ高校物理

概要

高校物理において利用する数学の知識は「ベクトル」と「三角関数」(と「微分積分」)です。

物理と数学は学校でも独自に学習が進むため、必要な応用ができないことがありますが、 ネットでは、ハイパーリンクという便利な技術を使用できるため、必要になった際に参照できるよう記述します。

目次

ベクトル

ベクトルの導入と四則演算

ベクトルの内積

ベクトルの外積

三角関数

ラジアン

三角関数の導入と計算方法

三角関数の加法定理

微分積分

$latex x^n$ の微分積分

三角関数の微分積分